অনুক্রম কাকে বলে, ধারা কাকে বলে, সমান্তর ধারা কাকে বলে,সমান্তর ধারার সাধারণ পদ নির্ণয়, সমান্তর ধারার N সংখ্যক পদের সমষ্টি, প্রথম N সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়

প্রশ্ন সমাধান: অনুক্রম কাকে বলে, ধারা কাকে বলে, সমান্তর ধারা কাকে বলে,সমান্তর ধারার সাধারণ পদ নির্ণয়, সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়

সসীম ধারা

অনুশীলনী: ১৩.১

পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি

◈ অনুক্রম

কতকগুলো রাশিকে একটা বিশেষ নিয়মে ক্রমান্বয়ে এমনভাবে সাজানো হয় যে, প্রত্যেক রাশি তার পূর্বের পদ ও পরের পদের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত তা জানা যায়। এভাবে সাজানো রাশিগুলোর সেটকে অনুক্রম (Sequence) বলা হয়।

অনুক্রমের প্রথম রাশিকে প্রথম পদ, দ্বিতীয় রাশিকে দ্বিতীয় পদ, তৃতীয় রাশিকে তৃতীয় পদ ইত্যাদি বলা হয়। 1, 3, 5, 7,… অনুক্রমের প্রথম পদ = 1, দ্বিতীয় পদ = 3, ইত্যাদি।

◈ ধারা

কোনো অনুক্রমের পদগুলো পরপর ‘+’ চিহ্ন দ্বারা যুক্ত করলে একটি ধারা (ঝবৎরবং) পাওয়া যায়। যেমন, 1 + 3 + 5 + 7 + …. একটি ধারা। ধারাটির পরপর দুইটি পদের পার্থক্য সমান। আবার 2 + 4 + 8 + 16 + …….. একটি ধারা। এর পরপর দুইটি পদের অনুপাত সমান। সুতরাং, যেকোনো ধারার পরপর দুইটি পদের মধ্যে সম্পর্কের ওপর নির্ভর করে ধারাটির বৈশিষ্ট্য। ধারাগুলোর মধ্যে গুরুত্বপূর্ণ দুইটি ধারা হলো সমান্তর ধারা ও গুণোত্তর ধারা।

◈ সমান্তর ধারা

কোনো ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য সব সময় সমান হলে, সেই ধারাটিকে সমান্তর ধারা বলে।

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 একটি ধারা।

এখানে, দ্বিতীয় পদ – প্রথম পদ = 3 – 1 = 2, তৃতীয় পদ – দ্বিতীয় পদ = 5 – 3 = 2

সুতরাং, ধারাটি একটি সমান্তর ধারা। উল্লিখিত ধারার সাধারণ অন্তর 2.

◈ সমান্তর ধারার সাধারণ পদ নির্ণয়

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a ও সাধারণ অন্তর = d হলে ধারাটির n তম পদ = a + (n – 1)d

এই n তম পদকেই সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বলা হয়। কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d জানা থাকলে n তম পদে n = 1, 2, 3, 4, ….. বসিয়ে পর্যায়ক্রমে ধারাটির প্রত্যেকটি পদ নির্ণয় করা যায়।

◈ সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p, সাধারণ অন্তর d, পদসংখ্যা n এবং ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি Sn.

∴ Sn = n/2 (a + p)

n-তম পদ = p = a + (n – 1)d.

Sn = n/2 {2a + (n – 1)d}

◈ প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি Sn

অর্থাৎ, Sn = 1 + 2 + 3 + ………… + (n – 1) + n

বা, Sn = n(n + 1)/2

অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্নঃ 1 : 2 – 5 – 12 – 19 – ………. ধারাটির সাধারণ অন্তর এবং 12তম পদ নির্ণয় কর।

সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি, 2 – 5 – 12 – 19 -…..

এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = 2

∴ সাধারণ অন্তর, d = – 5 – 2 = – 7

∴ 12 তম পদ = a + (12 – 1) d = 2 + 11 × ( -7)

= 2 – 77 = – 75

নির্ণেয় ধারাটির সাধারণ অন্তর – 7 এর 12 তম পদ -75.

প্রশ্নঃ 2 : 8 + 11 + 14 + 17 + …….. ধারাটির কোন পদ 392 ?

সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি, 8 + 11 + 14 + 17 +……..

এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = 8

সাধারণ অন্তর, d = 11 – 8 = 3

মনে করি, n তম পদ = 392

n তম পদ = a + (n – 1)d

∴ a + (n -1) d = 392

বা, 8 + (n – 1) × 3 = 392

বা, (n – 1) × 3 = 392 – 8

বা, n – 1 = 384/3

বা, n = 128 + 1

∴ n = 129

∴ ধারাটির 129তম পদ 392.

আরো ও সাজেশন:-

যে কোন পরীক্ষায় ধারা থেকে অংক আসে। আমরা সহজ ভাষায় ধারা শিক্ষার চেষ্টা করব। ধারা কয়েক রকমের হতে পারে।

যেমন ধরুন: ১,২,৩,৪,৫,…… কিংবা ২,৪,৬,৮,১০, … অথবা ১,২,৪,৮,১৬, …

আপনি অংক গুলো খেয়াল করলে দেখবেন প্রথম ধারাতে ১ করে যোগ হচ্ছে। দ্বিতীয় ধারাতে ২ করে যোগ হচ্ছে। তৃতীয় ধারাতে ২ করে গুন হচ্ছে।

একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা যদি যোগ বা বিয়োগ হয়ে কোন ধারা তৈরী হয় তবে সে ধারাকে বলে সমান্তর বা সান্ত ধারা বলে।

এখানে ১,২,৩,৪,৫,…… এবং ২,৪,৬,৮,১০,… এই দুটি ধারা সমান্তর ধারা।

এই ধারার পরের সংখ্যাটি আপনি এমনি বলে দিতে পারবেন। কিন্তু মুশকিল হল, পরীক্ষায় আসবে প্রদত্ত ধারার ১৫ তম কিংবা ৩৯ তম এরকম পদ বের কর। এরকম অংক করার জন্য একটি সহজ সূত্র আছে,

n তম পদ = a + (n – ১)d; a হচ্ছে প্রথম পদ এবং d হচ্ছে সাধারণ অন্তর।

আপনি এই সূত্র ব্যবহার করে এরকম অংক করে ফেলতে পারবেন। কিন্তু একটি ক্ষেত্রে আপনার ভুল করার সম্ভাবনা অনেক বেশি।

আপনি “n তম পদ” আর n কে যে কোন সময় এক করে ফেলবেন।

n এবং “n তম পদ” এর পার্থক্য ভাল মতন বুঝে নিন; এবার বিশ্বকাপে ১ম দল কোনটি? জার্মানি।

n তম পদ হল জার্মানি আর n হল ১।

তাহলে n হল সিরিয়াল আর n তম পদ হল ওই সিরিয়ালে যে নাম্বারটি আছে তা।

তাহলে আমরা ৩৯ তম পদ বের করি:

১ম ধারায়:

৩৯ তম পদ = ১ + (৩৯-১)১ = ৩৯

২য় ধারায়: ৩৯ তম পদ = ২ + (৩৯-১)২ = ৭৮

অংকটি কর,

5+8+11+14+……….ধারাটির কোন পদ 383?

ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 3

প্রথম পদ a = 5

মনে করি,

n তম পদ = 383

a+ (n-1)d = 383

5 + (n-1)3 = 383
3n-3 = 378
3n = 381
n = 127

সমান্তর ধারার যোগ:

সূত্র হল: n/2 {2a+ (n-1)d} মনে রাখতে পারেন এভাবে, n/2 {2—->n তম পদ} মানে n/2 {2 a+ (n-1)d}

1+3+5+7+……… ধারার n এর সমষ্টি কত ?

S = n/2 {2a+ (n-1)d}

= n/2{2X1 + (n-1)2}

= n/2 {2+ 2n-2}

=n/2X{2n}

=n²

আপনি নিচের সূত্র মুখস্থ করেন:

1+2+3+…………+n = n(n+1)/2

1+3+5+7+……… +n = n^2

1²+2²+3²+…………+n² = n(n+1)(2n+1)/6

1³+2³+3³+…………+n³ = {n(n+1)/2}²

প্রথম সূত্রটি ব্যাখ্যা করা যায়,

১ + ২ + ৩ + ৪ + …… + ১০০

১ + ১০০ = ১০১
২ + ৯৯ = ১০১
৩ + ৯৮ = ১০১
৪ + ৯৭ = ১০১
.
.
.
৫০ + ৫১ = ১০১

১০১ আছে মোট ৫০ বার। তাহলে যোগফল = ১০১X৫০

১০১ এসেছে ১০০+ ১ থেকে আর ৫০ এসেছে ১০০/২ থেকে

তাহলে সূত্রটি হবে,
n/2 X (n+1) = n(n+1)/2

এই অংকটি আমাদের করে দেখান:

৩০ + ৩১ + ৩২ + ……. + ১০০ =?

২য় সূত্রটি দেখি একবার:

1+3+5+7+……… +n = n2
১ পদের সমষ্টি = ১= ১^২
২ পদের সমষ্টি = ১ + ৩ = ৪ = ২^২
৩ পদের সমষ্টি = ১ + ৩ + ৫ = ৯ = ৩^২
৪ পদের সমষ্টি = ১ + ৩ + ৫ + ৭ = ১৬ = ৪^২
n পদের সমষ্টি = ১ + ৩ + ৫ + ৭ + …. + n = n^২

গুণোত্তর ধারা:

১, ২, ৪, ৮, ১৬, …
৩, ৯, ২৭, ৮১, …

উপরের ধারা দুটি খেয়াল করলে দেখবেন, প্রথম ক্ষেত্রে ২ করে গুণ করে পরের সংখ্যা পাওয়া যায়। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে ৩ করে গুণ করে পরের সংখ্যাটি পাওয়া যায়। এধরনের ধারাকে গুনোত্তর ধারা বলে। ১ম ধারাটি আমরা একটু পর্যবেক্ষণ করি: ১, ২, ৪, ৮, ১৬, …এখানে, প্রথম পদ a=১, সাধারণ অনুপাত r=২।

n = ১, প্রথম পদ = ১
n =২, ২য় পদ = ১X ২
n =৩, ৩য় পদ = ১X ২^২
n = ৪, ৪র্থ পদ = ১X ২^৩
——————————–

খেয়াল কর: ১ সর্বক্ষেত্রে গুণ হয়েছে, আর ২ এর পাওয়ার ঠিক n যত তার থেকে এক কম। [১ হল প্রথম পদ, মানে a আর ২ হল সাধারণ অনুপাতমানে r]

তাহলে, গুণোত্তর ধারার তম পদ বের করার সূত্র এরকম: ar^(n-১)

১ – ১ + ১ – ১ + ১ – ১ + ১……
এই ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা যার সাধারণ অনুপাত = -১
এই ধারার যোগফল বের করতে আপনাকে সূত্র জানতে হবে না।

দেখুন:

১ পদের সমষ্টি = ১
২ পদের সমষ্টি = ১- ১ =০
৩ পদের সমষ্টি = ১-১ +১= ১
৪ পদের সমষ্টি = ১-১ +১ -১ =০

এবার একটু দেখুন,
১ ও ৩ পদের সমষ্টি ১
২ ও ৪ পদের সমষ্টি ০

অর্থাৎ জোড় সংখ্যক পদের সমষ্টি ০ এবং বিজোড় সংখ্যক পদের সমষ্টি ১।

রচনা ,প্রবন্ধ	উত্তর লিংক	ভাবসম্প্রসারণ	উত্তর লিংক
আবেদন পত্র ও Application	উত্তর লিংক	অনুচ্ছেদ রচনা	উত্তর লিংক
চিঠি ও Letter	উত্তর লিংক	প্রতিবেদন	উত্তর লিংক
ইমেল ও Email	উত্তর লিংক	সারাংশ ও সারমর্ম	উত্তর লিংক

Paragraph	উত্তর লিংক	Composition	উত্তর লিংক
CV	উত্তর লিংক	Seen, Unseen	উত্তর লিংক
Essay	উত্তর লিংক	Completing Story	উত্তর লিংক
Dialog/সংলাপ	উত্তর লিংক	Short Stories/Poems/খুদেগল্প	উত্তর লিংক
অনুবাদ	উত্তর লিংক	Sentence Writing	উত্তর লিংক