সমতল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কাকে বলে ও কয় প্রকার কি কি?,ক্ষেত্রফলের একক কাকে বলে, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কি?

প্রশ্ন সমাধান: সমতল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কাকে বলে ও কয় প্রকার কি কি?,ক্ষেত্রফলের একক কাকে বলে,আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কি,বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কি?

◈ সমতল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : প্রত্যেক সীমাবদ্ধ সমতল ক্ষেত্রের নির্দিষ্ট ক্ষেত্রফল রয়েছে। সমতল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য জ্যামিতিক সূত্র ও উপপাদ্য ব্যবহার করা হয়। জটিল কোনো জ্যামিতিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য নিম্নলিখিত জ্যামিতিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র মনে রাখা আবশ্যক। যথা :

1। আয়তক্ষেত্র; 2। বর্গক্ষেত্র; 3। ত্রিভুজ; 4। সামান্তরিক; 5। ট্রাপিজিয়াম।

◈ ক্ষেত্রফলের একক : ক্ষেত্রফল পরিমাপের জন্য সাধারণত এক একক বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলকে বর্গ একক হিসেবে গ্রহণ করা হয়। যেমন, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য এক সেন্টিমিটার হলে, তার ক্ষেত্রফল হবে এক বর্গ সেন্টিমিটার।

◈ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল :

চিত্রে, ABCD আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, AB = a একক (যথা, মিটার)

প্রস্থ, BC = b একক (যথা, মিটার) হলে,

∴ ABCD আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ab বর্গ একক। (যথা, বর্গমিটার)

◈ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

চিত্রে ABCD বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য

AB = BC = CD = DA = a একক (যথা, মিটার) হলে,

∴ ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a² বর্গ একক (যথা, বর্গমিটার)

অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্নঃ 1 : ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে; নিচের কোন ক্ষেত্রে সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়?

ক. 3cm, 4cm, 5cm

খ. 6cm, 8cm, 10cm

☑ 5cm, 7cm, 9cm

ঘ. 5cm, 12cm, 13cm

ব্যাখ্যা : 52 + 72 ≠ 92

প্রশ্নঃ 2 : নিচের তথ্যগুলো লক্ষ কর :

i. প্রত্যেক সীমাবদ্ধ সমতল ক্ষেত্রের নির্দিষ্ট ক্ষেত্রফল রয়েছে

ii. দুইটি ত্রিভুজ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমান হলেই ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম

iii. দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হলে তাদের ক্ষেত্রফল সমান

নিচের কোনটি সঠিক?

ক. i ও ii

☑ i ও iii

গ. ii ও iii

ঘ. i, ii ও iii

ব্যাখ্যা : (ii) সঠিক নয়। কারণ- দুইটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান হলে সর্বসম নাও হতে পারে।

প্রশ্নঃ 5 : প্রমাণ কর যে, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় সামান্তরিক ক্ষেত্রটিকে চারটি সমান ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে।

সমাধান : সাধারণ নির্বচন : প্রমাণ করতে হবে যে, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় সামান্তরিক ক্ষেত্রটিকে চারটি সমান ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD একটি সামান্তরিক। এর AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে চারটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করেছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, △ ক্ষেত্র AOB = ∆ ক্ষেত্র BOC = ∆ ক্ষেত্র COD = ∆ ক্ষেত্র AOD

প্রমাণ :

ধাপসমূহ যথার্থতা

(1) ABCD সামান্তরিকের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে।

∴ OB = OD এবং OA = OC

(2) ∆BDC এ OC, BD এর উপর মধ্যমা।

∴ △ ক্ষেত্র COD = ∆ ক্ষেত্র BOC ….(i)

(3) ∆ABC এ OB, AC এর উপর মধ্যমা হওয়ায়

△ ক্ষেত্র BOC = ∆ ক্ষেত্র AOB ………….(ii)

(4) AO, BD এর উপর ∆ABD এর মধ্যমা হলে,

△ ক্ষেত্র AOB = ∆ ক্ষেত্র AOD …………..(iii)

(i), (ii) ও (iii) নং হতে পাই,

∴ △ ক্ষেত্র AOB = ∆ ক্ষেত্র BOC = △ ক্ষেত্র COD = △ ক্ষেত্র AOD

(প্রমাণিত)

প্রশ্নঃ 8 : একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের এবং সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র একই ভূমির উপর এবং এর একই পাশে অবস্থিত। দেখাও যে, সামান্তরিকক্ষেত্রটির পরিসীমা আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা অপেক্ষা বৃহত্তর।

সমাধান : সাধারণ নির্বচন : একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের এবং সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র একই ভূমির উপর এবং এর একই পাশে অবস্থিত। দেখাতে হবে যে, সামান্তরিকক্ষেত্রটির পরিসীমা আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা অপেক্ষা বৃহত্তর।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABEF আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ABCD সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।

প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD সামান্তরিকের পরিসীমা > ABEF আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা।

প্রমাণ :

ধাপসমূহ যথার্থতা

(1) ABCD সামান্তরিকক্ষেত্র ও ABEF আয়তক্ষেত্র একই ভূমি AB এর উপর এবং একই সমান্তরালযুগল AB ও CF এর মধ্যে অবস্থিত। আয়তক্ষেত্রের প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ।

(2) BCE সমকোণী ত্রিভুজ। BC, BCE সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ হওয়ায় BC > BE

[সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল]

[সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজই বৃহত্তম বাহু]

(3) এখন, ABEF আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা

= 2 (AB + BE)

= 2 AB + 2 BE

(4) ABCD সামান্তরিকের পরিসীমা

= 2 (AB + BC)

= 2 AB + 2 BC

(5) যেহেতু BC > BE

∴ 2 AB + 2 BC > 2 AB + 2 BE

অর্থাৎ, ABCD সামান্তরিকের পরিসীমা > ABEF আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা। (প্রমাণিত)

প্রশ্নঃ 12 : △ABC এ BC ভূমির সমান্তরাল যেকোনো সরলরেখা AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে,

△ ক্ষেত্র DBC = △ ক্ষেত্র EBC এবং △ ক্ষেত্র BDE = △ ক্ষেত্র CDE

সমাধান :

বিশেষ নির্বচন : দেওয়া আছে, △ABC এ BC ভূমির সমান্তরাল যেকোনো সরলরেখা AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করতে হবে যে, △ ক্ষেত্র DBC = △ ক্ষেত্র EBC এবং △ ক্ষেত্র BDE = △ ক্ষেত্র CDE

অঙ্কন : B, E; C, D এবং D, E যোগ করি।

প্রমাণ :

ধাপসমূহ যথার্থতা

(1) △ ক্ষেত্র DBC ও △ ক্ষেত্র EBC একই ভূমি BC এর উপর এবং একই সমান্তরাল যুগল BC ও DE এর মধ্যে অবস্থিত।

∴△ ক্ষেত্র DBC = △ ক্ষেত্র EBC

[উপপাদ্য- 15.1]

(2) আবার, △ ক্ষেত্র BDE ও △ ক্ষেত্র CDE একই ভূমি DE এর উপর এবং একই সমান্তরাল যুগল BC ও DE এর মধ্যে অবস্থিত।

[উপপাদ্য- 15.1]

∴ △ ক্ষেত্র BDE = △ ক্ষেত্র CDE

∴ △ ক্ষেত্র ইউC = △ ক্ষেত্র EBC

সুতরাং, △ ক্ষেত্র BDE = △ ক্ষেত্র CDE (প্রমাণিত)

আরো ও সাজেশন:-

১. একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি 12 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 30 বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?
Ο ক) 18 মিটার
Ο খ) 24 মিটার
Ο গ) 30 মিটার
Ο ঘ) 36 মিটার
সঠিক উত্তর: (গ)

২. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও এক বাহুর অন্তর 36 মিটার এবং অপর বাহুটির 48 মিটার হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?
Ο ক) 50 মিটার
Ο খ) 30 মিটার
Ο গ) 20 মিটার
Ο ঘ) 10 মিটার
সঠিক উত্তর: (ক)

৩. i. চতুর্ভুজ চারটি বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র।
ii. সীমাবদ্ধ সমতল ক্ষেত্রের আকৃতি বিভিন্ন রকম।
iii. চতুর্ভুজের কোনো শ্রেণিবিভাগ নেই।
নিচের কোনটি সঠিক?
Ο ক) i
Ο খ) i ও ii
Ο গ) ii
Ο ঘ) iii
সঠিক উত্তর: (খ)

৪. সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে কি বলে?
Ο ক) ভূমি
Ο খ) লম্ব
Ο গ) অতিভূজ
Ο ঘ) কোণ
সঠিক উত্তর: (গ)

৫. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় 20 সে. মি. ও সে. মি.। এর ক্ষেত্রফল উপর অঙ্কিত বর্গের শতকরা কত অংশ?
Ο ক) 25%
Ο খ) 30%
Ο গ) 20%
Ο ঘ) 35%
সঠিক উত্তর: (ক)

৬. কোনো বর্গক্ষেত্র তার কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের-
Ο ক) অর্ধেক
Ο খ) দ্বিগুণ
Ο গ) চারগুণ
Ο ঘ) সমান
সঠিক উত্তর: (ক)

৭. একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 3:4:5। এর পরিসীমা 48 মিটার হলে অতিভুজ কত?
Ο ক) 20 মিটার
Ο খ) 22 মিটার
Ο গ) 26 মিটার
Ο ঘ) 85 মিটার
সঠিক উত্তর: (ক)

৮. নিচের তথ্যগুলো লক্ষ কর:
i. সমকোনী ত্রিভুজের অতিভুজই বৃহত্তম বাহু
ii. কোন ত্রিভুজে বৃহত্তম বাহুর বর্গ অন্য বাহুদ্বয়ের বর্গের সমষ্টির সমানহলে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে
iii. সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত 1:1:2
নিচের কোনটি সঠিক?
Ο ক) i
Ο খ) ii
Ο গ) iii
Ο ঘ) i, ii ও iii
সঠিক উত্তর: (ঘ)

৯. একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের কতগুণ?
Ο ক) দ্বিগুণ
Ο খ) তিনগুণ
Ο গ) চারগুণ
Ο ঘ) পাঁচগুণ
সঠিক উত্তর: (গ)

১০. i. দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ
ii. দুই কোণ ও এক বাহু
iii. দুই বাহু ও একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য
নিচের কোনটি সঠিক?
Ο ক) i
Ο খ) ii
Ο গ) iii
Ο ঘ) i ও iii
সঠিক উত্তর: (ক)

১১. সীমাবদ্ধ সমতল ক্ষেত্রের আকৃতি কত রকম হতে পারে?
Ο ক) এক রকম
Ο খ) দুই রকম
Ο গ) তিন রকম
Ο ঘ) বিভিন্ন রকম
সঠিক উত্তর: (ঘ)

১২. কোনো বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
Ο ক) a2 বর্গ একক
Ο খ) 2a একক
Ο গ) 4a একক
Ο ঘ) 2a2 বর্গ একক
সঠিক উত্তর: (ক)

১৩. নিচের কোন বাহুগুলো একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে?
Ο ক) 4,4,5
Ο খ) 3,4,5
Ο গ) 4,5,6
Ο ঘ) 6,7,8
সঠিক উত্তর: (খ)

১৪. একটি প্রতিজ্ঞা প্রমাণের সময় আরো কিছু সত্য প্রমাণিত হয়। সেই সত্যকে কী বলে?
Ο ক) স্বত:সিদ্ধ
Ο খ) অনুসিদ্ধান্ত
Ο গ) স্বীকার্য
Ο ঘ) প্রমাণ
সঠিক উত্তর: (খ)

১৫. সীমাবদ্ধ সমতল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলকে নিচের কোন একক হিসেবে লেখা হয়?
Ο ক) ঘন একক
Ο খ) বর্গ একক
Ο গ) একক
Ο ঘ) উপরের কোনটি নয়
সঠিক উত্তর: (খ)

১৬. প্রত্যেক সীমাবদ্ধ সমতলক্ষেত্রের নির্দিষ্ট পরিমাপকে কী বলা হয়?
Ο ক) বর্গ
Ο খ) ট্রাপিজিয়াম
Ο গ) ক্ষেত্রফল
Ο ঘ) ভর
সঠিক উত্তর: (গ)

১৭. একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের পরিসীমা (6+62) মিটার। এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?
Ο ক) 6 মিটার
Ο খ) 7 মিটার
Ο গ) 8 মিটার
Ο ঘ) 9 মিটার
সঠিক উত্তর: (ক)

১৮. ∆ABC ও ∆DEF সর্বসম হরে কীভাবে লেখা হয়?
Ο ক) ∆ABC = ∆DEF
Ο খ) ∆ABC ≅ ∆DEF
Ο গ) ∆ABC ~ ∆DEF
Ο ঘ) ∆ABC ≈ ∆DEF
সঠিক উত্তর: (খ)

১৯. একটি সামান্তরিকের ভূমি 8 সে.মি ও উচ্চতা 5 সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল কত?
Ο ক) 60 বর্গ সে. মি.
Ο খ) 20 বর্গ সে. মি.
Ο গ) 40 বর্গ সে.মি.
Ο ঘ) 30 বর্গ সে.মি.
সঠিক উত্তর: (গ)

২০. একটি মইয়ের দৈর্ঘ্য 13 মিটার । এর শীর্ষ 12 মিটার উঁচু একটি দেয়ালের শীর্ষবিন্দুকে স্পর্শ করে। মইটির গোড়া ও দেয়ালের দূরত্ব কত?
Ο ক) 27 মিটার
Ο খ) 25 মিটার
Ο গ) 5 মিটার
Ο ঘ) 1 মিটার
সঠিক উত্তর: (গ)

২১. কোনো বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 5 সে. মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত হবে?
Ο ক) 2.5 সে.মি.
Ο খ) 5 সে.মি
Ο গ) 10 বর্গ সে.মি.
Ο ঘ) 25 বর্গ সে.মি.
সঠিক উত্তর: (ঘ)

২২. কোন চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় সমান ও পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত। এটি কোন ধরনের চতুর্ভুজ হবে?
Ο ক) বর্গক্ষেত্র
Ο খ) আয়তক্ষেত্র
Ο গ) সামান্তরিক
Ο ঘ) ট্রাপিজিয়াম
সঠিক উত্তর: (ক)

২৩. একই ভূমির উপর এবং একই সমান্তরাল রেখাযুগলের মধ্যে অবস্থিত সামান্তরিকক্ষেত্রসমূহের ক্ষেত্রফল কেমন?
Ο ক) ভগ্নাংশ
Ο খ) বিপরীত
Ο গ) সমান
Ο ঘ) অসমান
সঠিক উত্তর: (গ)

২৪. নিচের তথ্যগুলো লক্ষ কর:
i. সামান্তরিকের দুইটি কর্ণ আঁকা হলে এটি চারটি সমান ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত হয়
ii. রম্বসের দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 8 সে.মি. এবং 4 সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল হবে 16 বর্গ সে. মি.
iii. 8 মিটার বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হবে 83 বর্গমিটার
নিচের কোনটি সঠিক?
Ο ক) i ও ii
Ο খ) ii
Ο গ) iii
Ο ঘ) i
সঠিক উত্তর: (ক)

২৫. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ওও প্রস্থের অনুপাত 4:3 এবং এর কর্ণের দৈর্ঘ্য 25 মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত?
Ο ক) 300 বর্গমিটার
Ο খ) 450 বর্গমিটার
Ο গ) 300 বর্গমিটার
Ο ঘ) 130 বর্গমিটার
সঠিক উত্তর: (ক)

২৬. যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে কী বলে?
Ο ক) আয়তক্ষেত্র
Ο খ) বর্গক্ষেত্র
Ο গ) সামান্তরিক
Ο ঘ) রম্বস
সঠিক উত্তর: (গ)

২৭. ত্রিভুজের একটি কোণ অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হলে, ত্রিভুজটি কী হবে?
Ο ক) সূক্ষ্মকোণী
Ο খ) সমকোণী
Ο গ) স্থূলকোণী
Ο ঘ) সমবাহু
সঠিক উত্তর: (খ)

২৮. সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় সামান্তরিক ক্ষেত্রটিকে কয়টি সমান ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে?
Ο ক) দুইটি
Ο খ) তিনটি
Ο গ) চারটি
Ο ঘ) আটটি
সঠিক উত্তর: (গ)

২৯. একটি সমকোণী ত্রিবুজের ভূমি সংলগ্ন কোণ 300 এবং এর অতিভুজ 20 মিটার হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত?
Ο ক) 105 মিটার
Ο খ) 103মিটার
Ο গ) 10 মিটার
Ο ঘ) 45 মিটার
সঠিক উত্তর: (খ)

৩০. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটি ডথাক্রমে 12 মিটার ও 5 মিটার হলে এর পরিসীমা কত হবে?
Ο ক) 17 মিটার
Ο খ) 18 মিটার
Ο গ) 25 মিটার
Ο ঘ) 30 মিটার
সঠিক উত্তর: (ঘ)

রচনা ,প্রবন্ধ	উত্তর লিংক	ভাবসম্প্রসারণ	উত্তর লিংক
আবেদন পত্র ও Application	উত্তর লিংক	অনুচ্ছেদ রচনা	উত্তর লিংক
চিঠি ও Letter	উত্তর লিংক	প্রতিবেদন	উত্তর লিংক
ইমেল ও Email	উত্তর লিংক	সারাংশ ও সারমর্ম	উত্তর লিংক

Paragraph	উত্তর লিংক	Composition	উত্তর লিংক
CV	উত্তর লিংক	Seen, Unseen	উত্তর লিংক
Essay	উত্তর লিংক	Completing Story	উত্তর লিংক
Dialog/সংলাপ	উত্তর লিংক	Short Stories/Poems/খুদেগল্প	উত্তর লিংক
অনুবাদ	উত্তর লিংক	Sentence Writing	উত্তর লিংক