বীজগাণিতিক রাশি, বীজগাণিতিক সূত্রাবলি, 2a + 3b সূত্রের সাহায্যে বর্গ নির্ণয় কর, 2ab + 3bc সূত্রের সাহায্যে বর্গ নির্ণয় কর

প্রশ্ন সমাধান: বীজগাণিতিক রাশি, বীজগাণিতিক সূত্রাবলি, 2a + 3b সূত্রের সাহায্যে বর্গ নির্ণয় কর, 2ab + 3bc সূত্রের সাহায্যে বর্গ নির্ণয় কর

◈ বীজগাণিতিক রাশি : প্রক্রিয়া চিহ্ন এবং সংখ্যানির্দেশক অক্ষর প্রতীক এর অর্থবোধক বিন্যাসকে বীজগাণিতিক রাশি বলা হয়।

যেমন, 2a + 3b – 4c একটি বীজগাণিতিক রাশি। বীজগাণিতিক রাশিতে a, b, c, p, q, r, m, n, x, y, z, ……….. ইত্যাদি বর্ণমালার মাধ্যমে বিভিন্ন তথ্য প্রকাশ করা হয়। বীজগাণিতিক রাশি সংবলিত বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে এই সমস্ত বর্ণমালাকে ব্যবহার করা হয়। পাটিগণিতে শুধু ধনাত্মক সংখ্যা ব্যবহৃত হয়, অন্যদিকে বীজগণিতে শূন্যসহ ধনাত্মক ও ঋণাত্মক সকল সংখ্যা ব্যবহার করা হয়। বীজগণিতকে পাটিগণিতের সর্বায়নকৃত রূপ বলা হয়। বীজগাণিতিক রাশিতে ব্যবহৃত সংখ্যাগুলো ধ্রুবক (constant), এদের মান নির্দিষ্ট।

বীজগাণিতিক রাশিতে ব্যবহৃত অক্ষর প্রতীকগুলো চলক (variables), এদের মান নির্দিষ্ট নয়, এরা বিভিন্ন মান ধারণ করতে পারে।

◈ বীজগাণিতিক সূত্রাবলি : বীজগাণিতিক প্রতীক দ্বারা প্রকাশিত যেকোনো সাধারণ নিয়ম বা সিদ্ধান্তকে বীজগাণিতিক সূত্র বলা হয়।

সূত্র 1। (a + b)² = a² + 2ab + b²

সূত্র 2। (a – b)² = a² – 2ab + b²

সূত্র 3। a² – b² = (a + b) (a – b)

সূত্র 4। (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab

সূত্র 5। (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac

অনুসিদ্ধান্ত 1। a² + b² = (a + b)² – 2ab

অনুসিদ্ধান্ত 2। a² + b² = (a – b)² + 2ab

অনুসিদ্ধান্ত 3। (a + b)² = (a – b)² + 4ab

অনুসিদ্ধান্ত 4। (a -b)² = (a + b)² – 4ab

অনুসিদ্ধান্ত 5। a² + b² + c² = (a + b + c)² – 2(ab + bc + ac)

অনুসিদ্ধান্ত 6। 2(ab + bc + ac) = (a + b + c)² – (a² + b² + c²)

আরো ও সাজেশন:-

অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্নঃ 1 : সূত্রের সাহায্যে বর্গ নির্ণয় কর :

(ক) 2a + 3b

সমাধান : 2a + 3b এর বর্গ = (2a + 3b)²

= (2a)² + 2 × 2a × 3b + (3b)²

= 4a² + 12ab + 9b² (Ans.)

(খ) 2ab + 3bc

সমাধান : 2ab + 3bc এর বর্গ

= (2ab + 3bc)²

= (2ab)² + 2 × 2ab × 3bc + (3bc)²

= 4a²b² + 12ab²c + 9b²c² (Ans.)

(ঙ) 4y – 5x

সমাধান : 4y – 5x এর বর্গ = (4y – 5x)²

= (4y)² – 2 × 4y × 5x + (5x)²

= 16y² – 40xy + 25x² (Ans.)

(চ) ab – c

সমাধান : ab – c এর বর্গ = (ab – c)²

= (ab)² -2 × ab × c + (c)²

= a²b² – 2abc + c² (Ans.)

(ছ) 5x²- y

সমাধান : 5x² – y এর বর্গ = (5x² – y)²

= (5x²)² – 2 × 5x² × y + (y)²

= 25x⁴ – 10x²y + y² (Ans.)

(জ) x + 2y + 4y

সমাধান : x + 2y + 4y এর বর্গ

= (x + 2y + 4y)² = {(x + 2y) + 4y}2

= (x + 2y)² + 2 × (x + 2y) × 4y + (4y)²

= x² + 2 × x × 2y + (2y)² + 8zx + 16yz + 16y²

= x² + 4xy + 4y² + 8zx + 16yz + 16y²

= x² + 4y² + 16y² + 4xy + 16yz + 8zx (Ans.)

(ঝ) 3p + 4q – 5r

সমাধান : 3p + 4q – 5r এর বর্গ

= (3p + 4q – 5r)²

= {(3p + 4q) – 5r}2

= (3p + 4q )² – 2 × (3p + 4q) × 5r + (5r)²

= (3p)² + 2 × 3p × 4q + (4q)² – 10r (3p + 4q) + 25r²

= 9p² + 24pq + 16q² – 30pr – 40qr + 25r²

= 9p² + 16q² + 25r² + 24pq – 40qr – 30pr (Ans.)

(ঞ) 3b – 5c – 2a

সমাধান : 3b – 5c – 2a এর বর্গ

= (3b – 5c – 2a)²

= {(3b – 5c) – 2a}2

= (3b – 5c)² – 2 × (3b – 5c) × 2a + (2a)²

= (3b)² – 2 × 3b × 5c + (5c)² – (3b – 5c) × 4a + 4a²

= 9b² – 30bc + 25c² – 12ab + 20ca + 4a²

= 4a² + 9b² + 25c² – 12ab – 30bc + 20ca (Ans.)

(ট) ax – by – cz

সমাধান : ax – by – cz এর বর্গ

= (ax – by – cz)²

= {(ax – by)² – cz}2

= (ax – by)² – 2 × (ax – by) × cz + (cz)²

= (ax)² – 2 × ax × by + (by)² – (ax – by) × 2cz + c²y²

= a²x2 – 2abxy + b²y² – 2cazx + 2bcyz + c²y²

= a²x2 + b²y² + c²y² – 2abxy + 2bcyz – 2cazx (Ans.)

[ বি:দ্র: নমুনা উত্তর দাতা: রাকিব হোসেন সজল ©সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত (বাংলা নিউজ এক্সপ্রেস)]

(ঠ) a – b + c – d

সমাধান : a – b + c – d এর বর্গ

= (a – b + c – d)²

= {(a – b) + (c – d)}2

= (a – b)² + 2 × (a – b) × (c – d) + (c – d)²

= a² – 2 × a × b + b² + 2(a – b) (c – d) + c² – 2 × c × d + d²

= a² – 2ab + b² + 2ac – 2ad – 2bc + 2bd + c² – 2cd + d²

= a² + b² + c² + d² – 2ab + 2ac – 2ad – 2bc + 2bd – 2cd (Ans.)

(ড) 2a + 3x – 2y – 5z

সমাধান : 2a + 3x – 2y – 5z এর বর্গ

= (2a + 3x – 2y – 5y)²

= {(2a + 3x) – (2y + 5y)}2

= (2a + 3x)² – 2 × (2a + 3x) × (2y + 5y) + (2y + 5y)²

= (2a)² + 2 × 2a × 3x + (3x)² – 2(2a + 3x) (2y + 5y) + (2y)² + 2 × 2y × 5z + (5y)²

= 4a² + 12ax + 9x² – 2(4ay + 10az + 6xy + 15xy) + 4y² + 20yz + 25y²

= 4a² + 12ax + 9x² – 8ay – 20az – 12xy – 30xy + 4y² + 20yz + 25y²

= 4a² + 9x² + 4y² + 25y² + 12ax – 8ay – 20az – 12xy – 30xy + 20yz (Ans.)

(ঢ) 101

সমাধান : 101 এর বর্গ

= (101)²

= (100 + 1)²

= (100)² + 2 × 100 × 1 + (1)²

= 10000 + 200 + 1

= 10201 (Ans.)

(ণ) 997

সমাধান : 997 এর বর্গ

= (997)²

= (1000 – 3)²

= (1000)² – 2 × 1000 × 3 + (3)²

= 1000000 – 6000 + 9

= 994009 (Ans.)

(ত) 1007

সমাধান : 1007 এর বর্গ

= (1007)²

= (1000 + 7)²

= (1000)² + 2 × 1000 × 7 + (7)²

= 1000000 + 14000 + 49

= 1014049 (Ans.)

রচনা ,প্রবন্ধ	উত্তর লিংক	ভাবসম্প্রসারণ	উত্তর লিংক
আবেদন পত্র ও Application	উত্তর লিংক	অনুচ্ছেদ রচনা	উত্তর লিংক
চিঠি ও Letter	উত্তর লিংক	প্রতিবেদন	উত্তর লিংক
ইমেল ও Email	উত্তর লিংক	সারাংশ ও সারমর্ম	উত্তর লিংক

Paragraph	উত্তর লিংক	Composition	উত্তর লিংক
CV	উত্তর লিংক	Seen, Unseen	উত্তর লিংক
Essay	উত্তর লিংক	Completing Story	উত্তর লিংক
Dialog/সংলাপ	উত্তর লিংক	Short Stories/Poems/খুদেগল্প	উত্তর লিংক
অনুবাদ	উত্তর লিংক	Sentence Writing	উত্তর লিংক