প্রশ্ন সমাধান: প্রমাণ কর যে √5 অমূলদ সংখ্যা,প্রমাণ কর যে √7 অমূলদ সংখ্যা,প্রমাণ কর যে √10 অমূলদ সংখ্যা, 0.31 এবং 0.12 এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর
প্রমাণ কর যে √5 অমূলদ সংখ্যা
সমাধান : (ক) এখানে, 2² = 4; 3² = 9 এবং (√5)² = 5
সুতরাং √5, 2 অপেক্ষা বড় কিন্তু 3 অপেক্ষা ছোট সংখ্যা।
অতএব, √5 পূর্ণসংখ্যা নয়। অর্থাৎ √5 মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা।
মনে করি, √5 মূলদ সংখ্যা।
তাহলে ধরি, √5 = p÷q; যেখানে p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা, q ≠ 0 এবং p, q সহমৌলিক, q > 1.
বা, 5 = p²÷q² ; বর্গ করে
বা, 5q = p²÷q; উভয় পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে।
এখানে, 5q স্পষ্টত পূর্ণসংখ্যা কিন্তু p²÷q পূর্ণসংখ্যা নয়। কারণ p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1
সুতরাং, 5q এবং p²÷q সমান হতে পারে না, অর্থাৎ 5q ≠ p²÷q
∴ √5 এর মান p÷q আকারের কোনো সংখ্যা হতে পারে না,
অর্থাৎ, √5 ≠ p÷q
অতএব, √5 একটি অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)
প্রমাণ কর যে √7 অমূলদ সংখ্যা
(খ) এখানে, 4 < 7 < 9
বা, √4 <√7 < √9
বা, 2 <√7 < 3
∴ √7, 2 অপেক্ষা বড় কিন্তু 3 অপেক্ষা ছোট সংখ্যা
অতএব, √7 পূর্ণসংখ্যা নয়, অর্থাৎ √7 মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা
মনে করি, √7 মূলদ সংখ্যা।
তাহলে ধরি, √7 = p÷q; যেখানে p, q স্বাভাবিক সংখ্যা q ≠ 0 এবং p, q সহমৌলিক, q > 1
বা, 7 = p²÷q²; উভয় পক্ষকে বর্গ করে
বা, 7q = p²÷q ; উভয় পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে।
এখানে, 7q স্পষ্টত পূর্ণ সংখ্যা কিন্তু p²q পূর্ণ সংখ্যা নয়, কারণ p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1
∴ 7q এবং p²÷q সমান হতে পারে না, অর্থাৎ 7q ≠ p²÷q
∴ √7 এর মান p÷q আকারে কোনো সংখ্যা হতে পারে না।
অর্থাৎ, √7 ≠ p÷q
অতএব, √7 একটি অমূলদ সংখ্যা (প্রমাণিত)
প্রমাণ কর যে √10 অমূলদ সংখ্যা
(গ) এখানে, 9 < 10 < 16
বা, √9 < √10 <√16
বা, 3 < √10 < 4
∴ √10, 3 অপেক্ষা বড় কিন্তু 4 অপেক্ষা ছোট সংখ্যা।
অতএব, √10 পূর্ণ সংখ্যা নয়, অর্থাৎ √10 মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা
মনে করি, √10 মূলদ সংখ্যা।
তাহলে ধরি, √10 = p÷q; যেখানে p, q স্বাভাবিক সংখ্যা, q ≠ 0 এবং p, q সহমৌলিক, q > 1
বা, 10 = p²÷q²; উভয় পক্ষকে বর্গ করে
বা, 10q = p²÷q; উভয়পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে।
এখানে, 10q স্পষ্টত পূর্ণ সংখ্যা কিন্তু p²÷q পূর্ণ সংখ্যা নয়, কারণ p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1
∴ 10q এবং p²÷q সমান হতে পারে না। অর্থাৎ 10q ≠ p²÷q
∴ √10 এর মান p÷q আকারের কোনো সংখ্যা হতে পারে না,
অর্থাৎ √10 ≠ p÷q
অতএব, √10 একটি অমূলদ সংখ্যা (প্রমাণিত)
[ বি:দ্র: নমুনা উত্তর দাতা: রাকিব হোসেন সজল ©সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত (বাংলা নিউজ এক্সপ্রেস)]
0.31 এবং 0.12 এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, একটি সংখ্যা, a = 0.30300300030…..
এবং অপর সংখ্যা, b = 0.2020020002……
স্পষ্টত : a ও b উভয়ই দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং উভয়ই 0.31 অপেক্ষা ছোট এবং 0.12 অপেক্ষা বড়
অর্থাৎ, 0.31 > 0.3030030003…….. > 0.12
এবং 0.31 > 0.2020020002…… > 0.12
আবার, a ও b কে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।
∴ a ও b দুইটি নির্ণেয় অমূলদ সংখ্যা, যা 0.31 এবং 0.12 এর মাঝে অবস্থিত।
নির্ণেয় সংখ্যা, 0.3030030003…………
এবং 0.2020020002………….
[ বি. দ্র. : এরূপ অসংখ্য অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় করা যায়।]
রচনা ,প্রবন্ধ | উত্তর লিংক | ভাবসম্প্রসারণ | উত্তর লিংক |
আবেদন পত্র ও Application | উত্তর লিংক | অনুচ্ছেদ রচনা | উত্তর লিংক |
চিঠি ও Letter | উত্তর লিংক | প্রতিবেদন | উত্তর লিংক |
ইমেল ও Email | উত্তর লিংক | সারাংশ ও সারমর্ম | উত্তর লিংক |
Paragraph | উত্তর লিংক | Composition | উত্তর লিংক |
CV | উত্তর লিংক | Seen, Unseen | উত্তর লিংক |
Essay | উত্তর লিংক | Completing Story | উত্তর লিংক |
Dialog/সংলাপ | উত্তর লিংক | Short Stories/Poems/খুদেগল্প | উত্তর লিংক |
অনুবাদ | উত্তর লিংক | Sentence Writing | উত্তর লিংক |
প্রশ্ন ও মতামত জানাতে পারেন আমাদের কে ইমেল : info@banglanewsexpress.com
আমরা আছি নিচের সামাজিক যোগাযোগ মাধ্যমে গুলোতে ও
- খিলাফত রাষ্ট্র ও আধুনিক মুসলিম রাষ্ট্র পার্থক্য । খিলাফত রাষ্ট্র vs আধুনিক মুসলিম রাষ্ট্র পার্থক্য
- What do you near by Business communication?, Explain the concept of business communication
- Describe the barriers to effective communication in business organization
- সমাজদর্শন ও রাষ্ট্র দর্শনের সম্পর্ক, সমাজদর্শ ও রাষ্ট্রদর্শনের সম্পর্ক, Relation between Social Philosophy & Political Philosophy
- দর্শনের বিষয়বস্তুকে প্রধানত কয় ভাগে ভাগ করা যায়?, দর্শনের বিষয়বস্তু হিসেবে অধিবিদ্যা আলোচনা করুন।
- দর্শনের প্রকৃতি ও স্বরূপ আলোচনা কর